Brudnopis naukowy
Brudnopis, ale publiczny... Pewien wykładowca powiadał, że często zagadnienie staje się ciekawsze, kiedy pracuje nad nim jeszcze ktoś inny...
Uwaga: To że nazwałem ten kąt brudnopisem naukowym nie oznacza iż wszystkie zagadnienia te są nowe, a problemy otwarte (zresztą sam do końca nie wiem które są, a które nie - to nie ważne) - ale jakże często pouczające i ciekawe jest dochodzenie do nich samemu.
(3) Równanie 
, gdzie 
Próba dowiedzenia się jak najwięcej na temat tego równania metodami analizy matematycznej (przebieg zmienności funkcji) i matematyki dyskretnej (rekurencje).
Dokumenty:
- [1] Równanie ax = x , Lipiec 2006 (wersja pdf)
Wyprowadzenie zależności a od x oraz x od a za pomocą rekurencji.
- [2] Zbiór Mandelbrota w R1, Luty 2007 (wersja pdf)
Odnalezienie zbioru, dla którego ciąg zadany rekurencją jest zbieżny.
(2) Fraktalne oblicze Liczb w rozwinięciu Dwumianu Newtona, licz Stirlinga i innych danych rekurencjami ...
Właściwie dla liczb zadanych rekurencjami postaci (2) z [1]CobwebPosets, choć niekoniecznie, ale te tworzą całkiem ciekawe, fraktalo-podobne trójkąty.
Applet in Java, which generate some interesting fractal triangles - fractal triangles
- Zacząłem od obliczania wymiaru minkowskiego wybranych trójkątów, część wyników np.
wymiary fraktalne dla trójkątów Pascala w mod 2,3,4
Wnioski: Dla mod2 i trójkąta o wygenerowanej liczbie linii 2n wymiar jest dokładny wymiarowi trójkąta Sierpińskiego tj. log(3)/log(2) co łatwo zresztą dowieść.
Dla modulo(iloczynu potęg liczb pierwszych) łatwo dostrzec nakładające się struktury trójkątów w modulo(liczb pierwszych) i tak np. mod6 jest złożeniem mod2 i mod3 itd
- Równie ciekawie zachowują się tak całe trójkąty (tj. obszary gdzie mod()>0) jak i poszczególne warstwy, w aplecie służy do tego lista filter z której można wybrać wygenerowanie
trójkąta tylko dla konkretnej reszty. Pytanie: Czy i jaki mają związek z całością... chodzi mi po głowie wieloskalowość ale właściwie one są różnej struktury... i to mi się podoba najbardziej - pytania.
- (14.06.06) Ciekawe zjawisko przedstawia np. trójkąt dla liczb danych rekurencją:
08 - f[n,k] = f[n-1,k-1]^2 + f[n-1,k]^2
(polecam włączyć applet javy dla tych liczb)
Dla reszt modulo 2,3,...,10 obraz wydaje się dość regularny, dla 11, 13 ale i 22,23... nagle staje się całkowicie chaotyczny!
To jak dla pewnej wartości współczynnika w odwzorowaniu logistycznym atraktor staje się całkowicie chaotyczny...
- (14.06.06) Próbujemy kolejne rekurencje, b. ciekawe wyniki daje
f[n-1][k-1]^f[n-1][k] + f[n-1][k]^f[n-1][k-1]
np. 18-mod3, 18-mod7, 18-mod13
- (23.06.06) UWAGA!!! BŁĘDY!!!
Pośpieszyłem się, właśnie odkryłem błędy, spowodowane z pewnością ciekawością ale brakiem dyscypliny również. Otóż liczby generowane przez takie trójkąty rosną baaardzo szybko dlatego postanowiłem podziałać nie na
dokładnych wartościach liczb tylko na samych ich resztach w Modulo, ale przy niektórych operacjach jest to niedozwolone!! np. podnoszenie do potęgi... Muszę nadrobić zaległości z elementarnej teorii liczb i będę dalej kontynuował.
Także niektóre z powyższych trójkątów są wynikiem błędnych algorytmów... oczywiście dla znanych rekurencji (Trójkąt pascala, liczby Stirlinga itp) są Okej
Niedługo sporo wolnego, mam nadzieję wtedy zająć się tym dokładniej, a na początek lektura m.in. kongruencje.pdf.
Do wszelkich obliczeń wymiaru minkowskiego użyto programu ze strony (dla epsilon=1):
http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/minkowski/program.html
Materiały pomocnicze:
