Faces of nature »

Matematyka » Dyskretna

(1) Materiały do studiowania

[wilf] generatingfunctionology Herbert S. Wilf
Szeregi, Funkcje Tworzące!, równania rekurencyjne, to tylko część, od której przygoda z generatingunctionology się zaczyna. Publikacja zawiera przykłady wykorzystania poznanych technik.
[stanley] Enumerative combinatorics vol 1,2, Richard P. Stanley, Cambridge Univ. Press
[ross] Matematyka dyskretna, K.A.Ross, C.R.B.Wright
[graham] Matematyka konkretna, R.L. Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik
[palka] Wykłady z kombinatoryki, Palka Zbigniew, Ruciński Andrzej
[lipski] Analiza kombinatoryczna , Witold Lipski, Wiktor Marek, PWN W-wa 1986

(2) Dokumenty

Trójkąt dla liczb Stirlinga II rodzaju mod 4

Liczby Bella & Dobinski Formula
Wyprowadzenie wzoru jawnego (Dobinski Formula) przy pomocy rekurencji i funkcji tworzących
Liczba suriekcji [n]->[k]
Wyprowadzenie liczby surjekcji [n]->[k] z zasady włączeń i wyłączeń
Nieporządki.pdf
Wyprowadzenie 1. rekurencja, funkcja tworząca i wzór jawny oraz 2. przy pomocy zasady włączeń-wyłączeń (i wzoru Sylvestera)
Prosta rekurencja i funkcje tworzące
Funkcje tworzące w rekurencji, proste zadanie z rozwiązaniem
Liczby Stirlinga II rodzaju
Wyprowadzenie jawnego wzoru przy pomocy funkcji tworzących.
Elementy teorii operatorow liniowych
Definicje, twierdzenia dot. teorii operatorów liniowych z [lipski].
Funkcje Tworzące - przykłady [eng]
Kilka ciekawych przykładów zastosowania funkcji tworzących.

$Diagram Hassego dla Cobweb Posetu wyznaczonego przez ciąg Liczb Fibonacciego$

(3) Inne

Fraktale z liczb Stirlinga I i II, Eulera i innych...
Jeśli utworzymy trójkąty dla tych liczb w modulo M np.: s(n,k) mod M dla każdego n,k to otrzymamy fraktale! Poniżej program w Javie, które generuje te trójkąty:

Trójkąty dla Liczb Fraktalnych takich jak np.
Współczynniki Dwumienne, Liczby Stirlinga I i II rodzaju, Liczby Eulera I i II rzędu, i inne rekurencyjne trójkąty...

A jeśli Twoja maszyna nie obsługuje apletów javy, to w galerii kilka przykładowych trójkątów, albo zachęcam do pobrania ze strony http://www.java.com/en/download/index.jsp wirtualnej maszyny Javy.
Home Page AKK -> Mathemagics -> Matematyka dyskretna
Liczby Stirlinga II rodzaju
Liczby Stirlinga I rodzaju
Liczby Bella

(4) Izomorfizmy kombinatoryki

A. Algebra nad ciałem C szeregów formalnych Dirichleta tj. szeregów postaci

$\sum_{n\geq 1} a_n n^{-s}$

z dodawaniem po współrzędnych i mnożeniem

$\left( \sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n^s} \right) \left( \sum_{n\geq 1}\frac{b_n}{n^s}\right) = \left( \sum_{n\geq 1}\frac{c_n}{n^s}\right)$

gdzie

$c_n = \sum_{i:i|n} a_i b_{n/i}$

jest izomorficzna z algebrą szeregów formalnych o nieskończonej liczbie zmiennych [lipski].

B. Jeśli poset $P=\langle P, \leq \rangle$ ma własność dwumianową, to odwzorowanie $\Phi$ , gdzie

$\Phi(f) =\sum_{n\geq 0} \frac{f(n)}{b_n} x^n$

gdzie $b_n$ jest liczbą łąńcuchów maksymalnych w odcinku o długości $n$ , jest izmorfizmem pomiędzy $R(P)$ (zredukowaną algebrą incydencji) oraz algebrą szeregów formalnych $C[[x]]$ [lipski].

C. Niech $Q$ będzie delta operatorem. Odwzorowanie $\Phi$ , zadane wzorem

$\Phi\left( \sum_{n\geq 0} \frac{a_n}{n!} x^n \right) = \sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n!} Q^n$

jest izomorfizmem algebry $C[[x]]$ (szeregów formalnych zmiennej x) i algebry operatorów niezmienniczych ze względu na przesunięcia [lipski].