Warto tu jeszcze raz wrócić do sprawy trzech motywacji uprawiania matematyki (czy nauki w ogóle). Istnieje koncepcja pitagorejska - matematyka jest badaniem najgłębszej prawdy o świecie (niezależnie już od tego, czy nazwie się ją harmonią czy jakoś inaczej). Jest koncepcja Arystotelesa - matematyka jest narzędziem do poznania i opanowania świata, przyrody. I wreszcie trzecia koncepcja, koncepcja Wschodu - matematyka jest sposobem uzyskiwania sprawności intelektualnej, ćwiczeniem giętkości umysłu. Każda z tych koncepcji pozwala rozwijać badania, każda produkuje wielkich uczonych i wielkie dzieła.
Jest rzeczą ważna, by przy braniu się za uprawianie matematyki bądź jej uczenie zdecydować się, którą z tych koncepcji się wybiera. Pozornie są to jeno aspekty filozoficznego bogactwa naszej dyscypliny nauki. Jednak nie wydaje się wykonalne oscylowanie między tymi możliwościami i równocześnie dokonanie rzeczy znaczących czy choćby pożytecznych. Na przynależność poszczególnych twórców matematyki do tej czy innej grupy, na wybór koncepcji uprawianej przez nich matematyki warto zwracać uwagę podczas dalszego przyglądania a się jej dziejom.
Źródło: Wykłady z historii matematyki, Marek Kordos, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1994, str.111
Godel i Cohen uświadomili nam smutną prawdę: Choćbyśmy nie wiem jak bardzo się starali, pewne obszary na zawsze pozostaną niedostępne dla naszego umysłu. Ludzie być może nigdy nie pojmą w pełni istoty nieskończoności. Intuicyjnie, bez potrzeby sięgania po dowód matematyczny, przeczuwali to praktykujący kabaliści. (...)
W dziejach świata żyło jednak kilku ludzi, którym udało się uchylić rąbka tajemnicy otaczającej nieskończoności. U zarania ludzkiej cywilizacji genialne umysły starożytnej Grecji potrafiły wyciągnąć zadziwiająco abstrakcyjne wnioski dotyczące nieskończoności, o czym świadczą paradoksy Zenona z Elei, prace Archimedesa, Eudoksosa z Knidos i innych.
Galileusz, ojciec nowożytnej fizyki, wnikliwie rozszyfrowujący tajemnice mechaniki wszechświata, musiał pożegnać się z karierą, gdy odważył się rzucić przelotne spojrzenie na własności nieskończoności dyskretnej. Bolzano, duchowny i matematyk, potrafił przeskoczyć do pojęcia nieskończoności ciągłej i zagłębić się w paradoksalną naturę innego nieskończonego zbioru - przedziału na osi liczbowej.
Ale dopiero Geogr Cantor, wyłączny twórca teorii mnogości, pojął pewne fundamentalne własności nieskończoności i potrafił wyszczególnić jej różne poziomy. Choć próbę zrozumienia ich znaczenia - rozbicia nieosiągalnej nieskończoności na składniki i sondowania jej najskrytszych części - przypłacił utratą zdrowia, jego prace otworzyły drzwi do raju, których już nie dało się zamknąć. Albowiem, czy to z powodu odkrytych przez niego własności nieskończoności, czy kłopotliwych paradoksów i pułapek, jakie on i jemu współcześni ujawnili, matematyka po Cantorze już nie była tym samym co wcześniej. Dzięki temu, że matematycy zrozumieli - do pewnego stopnia - naturę nieskończoności i zdali sobie sprawę z niebezpieczeństw dalszego zagłębiania się w jej sieć, ich dziedzina dojrzała i stała się bardziej spójna i lepiej zorganizowana.
Wraz z rozwojem matematyki na scenę wkroczyła informatyka, nowa i niezmiernie ważna dyscyplina naukowa współczesnego świata. Na niej także nieskończoność i badania nad jej własnościami - oraz przeszkody, jakie napotykamy, gdy próbujemy zrozumieć jej naturę - odcisnęły swoje piętno.
W 1939 roku Alan Turing wykazał, że za pomocą żadnej mechanicznej procedury nie da się rozwiązać "problemu stopu", w której chodzi o to, czy komputer zakończy wykonywanie danego programu, czy nie. Liczba rzeczywista jest numerycznie obliczalna, jeśli istnieje program wyliczający jej kolejne cyfry. O dziwo, prawie wszystkie liczby rzeczywiste nie są obliczalne. Turing udowodnił, że jeśli znajdziemy mechaniczną procedurę, która rozstrzygnie, czy maszyna zakończy wykonywanie swojego zadania, to będziemy mogli obliczyć liczbę rzeczywistą, która nie jest obliczalna, co jest oczywiście sprzecznością. (...)
W fizyce nieskończoność pojawia się wówczas, gdy rozważamy problem wielkości wszechświata. Czy wszechświat jest skończony, czy nie? Odpowiedź na to pytanie nie jest oczywiście znana. Fizycy nie wiedzą także, czy faktyczna przestrzeń materialna jest nieskończenie podzielna. Niektórzy teoretycy zakładają, że istnieje "najmniejsza jednostka" czasu i przestrzeni związana z czasem Planca. W teorii strun przyjmuje się założenie o istnieniu najmniejszego elementu, maleńkiej struny, która jest niepodzielna. Jednak fizycy nie mają dowodów na poparcie tych założeń. Pytanie o sens nieskończoności w świecie materialnym pozostaje więc otwarte.
Źródło: Tajemnica Alefów, Matematyka, Kabała i poszukiwanie nieskończoności, Admin D. Aczel , Dom Wydawniczy Rebic, Poznań 2002, strona 181
Osiągnięcia nowoczesnej nauki są nieustannym zwycięstwem matematyki nad wyobraźnią. Ledwo zdążyliśmy przyzwyczaić się do skrócenia prętów pomiarowych wzdłuż kierunku ruchu, zwolnienia zegarów, paradoksu bliźniaków i czterowymiarowej czasoprzestrzeni, Einstein zadał nową lekcję gimnastyki naszej wyobraźni: pole grawitacyjne jest zakrzywieniem czasoprzestrzeni. Wkrótce doświadczenie ujawniło dające się zmierzyć efekty tej zadziwiającej teorii. Imaginacja z trudem nadążała za coraz nowymi rozwiązaniami równań pola. Powoli oswajała się z nimi. Równocześnie giętkość wyobraźni trzeba było ćwiczyć w innych dziedzinach: świat mechaniki kwantowej okazał się jeszcze bardziej "inny" od naszych zadawnionych przyzwyczajeń. Dobra, poczciwa materia klasycznej fizyki, ale i naszego codziennego doświadczenia, zaczęła coraz bardziej rozpływać się przed zdumionymi oczami badaczy, aż całkowicie zmieniła się w fale. Czego? Eter, którego drgania już wcześniej miały pomagać wyobraźni w oswojeniu się z polem elektromagnetycznym, dawno zniknął z fizyki. Materia okazała się falowaniem... matematycznego prawdopodobieństwa.
Doszło wreszcie do tego, że już tylko specjaliści są w stanie pomagać sobie wyobraźnią w swojej wąskiej dziedzinie. Chociaż i oni bardziej ufają wynikom rachunków niż wyobrażaniu sobie czegokolwiek. Dla niespecjalistów wyniki najnowszych teorii często redukują się jedynie do słów, z którymi mogą łączyć dowolne skojarzenia, najczęściej wcale nie mające związku z treścią, jakie te słowa naprawdę w sobie kryją. Powierzchnie pułapkowe, czarne dziury, wielowymiarowe światy, kwarki i kwazary, superstruny, supergrawitacja, supersymetria i superunifikacja... to tylko pewne z tych magicznych słów, które tak działająca wyobraźnię ludzi, a które w gruncie rzeczy kryją w sobie niewyobrażalną treść, do jakiej bez pomocy matematyki nigdy byśmy nie doszli. (...)
Źródło: Nauka i wyobraźnia, Michał Heller, Wyd. Znak, Kraków 1995
Fragment rozdziału Różne oblicza jednego pytania (str. 168), gorąco zachęcam do przeczytania całego rozdziału!
Istnieją dwa główne sposoby osiągania postępu w matematyce.
Jednym z nich jest "czysta myśl". Poświęcenie pewnej ilości czasu rozmyślaniom - o charakterze raczej ogólnym - nad tym, co stanowi istotę problemu. Rozważanie ogólnych własności. Próba wygrzebania z ukrycia podstawowych idei.
Drugi to spojrzenie na przykłady, najlepiej najprostsze z możliwych, i dokładne zbadanie, jak one pracują.
W praktyce, aby cokolwiek uzyskać, należy stosować obie metody. Matematyk pracujący nad pewnym zagadnieniem będzie się kręcił wokół prostych przykładów, dopóki nie uzna, że wpadł w koleinę, wówczas przerzuci się na bardziej ogólne podejście do problemu, będzie się nim przez chwilę niepokoił, po czym powróci do nieco innego zestawu przykładów i sformułuje nieco inne pytania. Będzie zadręczał innych matematyków znajdujących się w zasięgu ręki, będzie telefonował do kolegów rozrzuconych od Knoxville do Omska. Gdy w końcu uzna, że zabrnął w ślepą uliczkę, przestanie interesować się problemem i zajmie się czymś innym: zabierze się za rozwiązywanie innego problemu, wymieni olej w samochodzie, zbuduje staw rybny lub pójdzie na wspinaczkę w góry. Często również zdarza się, że w najmniej odpowiednim momencie dozna olśnienia. Rzadko udaje się wszystko wyjaśnić, ale umożliwia to kontynuowanie pracy. Anselm Lanturlu, bohater filmów rysunkowych, którego stworzył francuski fizyk Jean-Pierre Petit, stwierdza w Euclid Rules OK:
ZROZUMIAŁEM TO! To znaczy... tak zupełnie to nie jestem pewien CO zrozumiałem, ale mam wrażenie, że COŚ zrozumiałem.
Źródło: Czy Bóg gra w kości, Ian Stewart, PWN, Wa-a 2001
Fragment rozdziału Recepta na chaos (str. 156)
Jest w historii matematyki wieku XIX data przełomowa: sformułowanie definicji funkcji ciągłej. Zagadnienie ciągłości trapiło oczywiście już starożytnych, narzucone im przez geometrię i kinematykę, ale dziwnym kaprysem ewolucji pojęć matematycznych wydaje się dziś fakt, że rachunek różniczkowy i całkowy wyprzedził o całe stulecie tę definicję funkcji ciągłej, którą posługują się współcześni matematycy - za jej autora uważano powszechnie Cauchy'ego na podstawie jego dzieł wydrukowanych w latach 1821, 1823 i 1829. Nie te daty jednak, lecz rok 1817 należy uznać za przełomowy, bo wtedy ukazała się w Pradze rozprawa pod tytułem "Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege" - dzisiejsi badacze ewolucji podstaw rachunku różniczkowego uważają ją za początek tej ścisłości, która o całą generację później zapanowała w europejskich centrach naukowych dzięki wpływowi Weierstrassa. Autorem rozprawy był Bernhard Bolzano, filozof i matematyk. Jego ojciec pochodził z północnych Włoch, a on sam spędził całe życie w Pradze - predykat "Bohemian" używany przez angielskie encyklopedie trudno uznać za dowód czeskości w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, tym bardziej, że Bolzano pisał tylko po niemiecku ... czy nie należałoby go nazwać Austriakiem?
Bolzano wyprzedził swoją epokę także jako autor przykładu funkcji wszędzie ciągłej, a jednak wszędzie pozbawionej pochodnej; zwykle przypisuje się Weierstrassowi pierwszeństwo tego odkrycia - w połowie XIX wieku mało kto słyszał o tym księdzu, który nie miał tytułów akademickich i nie ogłaszał swoich prac w Crelle's Journal - dopiero H. Hankel po 50 latach wydobył na światło dzienne nazwisko Bolzany przysypane prochem zapomnienia - dziś jedna z ulic śródmieścia praskiego nosi tę nazwę, choć niewielu przechodniom ma ona coś do powiedzenia. W Polsce wiedział o tych faktach historycznych Samuel Dickstein, który w r. 1899 ogłosił przyczynek do historii pryncypiów rachunku infinitezymalnego.
Tytuł rozprawy z r. 1817, podany wyżej w wersji oryginalnej, zawiera skrócony tekst twierdzenia: Jeżeli funkcja ciągła przyjmuje na jednym końcu przedziału ciągłości wartość ujemną, a na drugim dodatnią, to musi w jakimś punkcie tego przedziału przyjmować wartość zerową. W rozprawie Bolzano udowodnił to twierdzenie kompletnie dzięki ścisłej definicji ciągłości, którą sam sformułował. Toteż bardzo mi trudno zrozumieć, dlaczego niektórzy matematycy polscy mówią o funkcji, która przyjmuje w przedziale wszystkie wartości leżące między jej wartościami skrajnymi, że ma własność Darboux - przecież Gaston Darboux urodził się o wiele lat po dacie praskiej rozprawy , a dopiero z końcem XIX wieku ogłosił pracę, w której wykazał, że pochodna f'(x) dowolnej funkcji różniczkowalnej ma też własność przyjmowania wartości pośrednich... oczywiście podaje twierdzenie klasyczne o funkcji ciągłej na wstępie jako powszechnie znane. Wobec tego można streścić pracę Darboux jako odkrycie, że pochodna ma własność Bolzany, który pierwszy wykazał ją ściśle dla funkcyj ciągłych - nie zapominajmy jednak, że intuicyjne przeświadczenie o prawdziwości tytułowej tezy rozprawy praskiej mieli wszyscy wybitni matematycy XVIII wieku. (...)
Źródło: Hugo Steingaus, Między duchem a materią pośredniczy matematyka, PWN Warszawa-Wrocław 2000, a wcześniej opublikowane w Wiadomości Matematyczne VII, 2 (1963), s. 21-26.
